תזכורת באינטגרלים

[Niki]

שלום,

צריכה תזכורת לאופן הפתרון של :

1.

D הינו תחום במישור החסום בין העקומות:

y(x)=1/x 

y(x)=9x

y(x)=x/4

 

מהו השטח של התחום D?

 

2. שאלה בקובץ

 

תודה מראש

[אודי]

1. אם תשרטט את התחום הזה תראה שעד לנקודת החיתוך בין y=1/x ל-y=9x (כלומר, x=1/3) אתה צריך את השטח בין y=x/4 ל-y=9x ומהנקודה הזו ועד לנקודת החיתוך בין y=1/x ל-y=x/4 (כלומר, x=2) אתה צריך את השטח בין שתי העקומות האלו, כלומר האינטגרל שלך הוא:

http://www.codecogs.com/gif.latex?S_D=%5Cintop_0%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%7D(9x-%5Cfrac%7Bx%7D%7B4%7D)dx+%5Cintop_%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%7D%5E2(%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D-%5Cfrac%7Bx%7D%7B4%7D)dx

 

ההמשך טריוויאלי.

 

2. אני לא רואה פה חוכמות מיוחדות. כדי לחשב את פיתוח טיילור אתה צריך לגזור את האינטגרל. המשפט היסודי של החדוו"א יספיק פה, לא צריך את כלל לייבניץ, מכיוון שלפי המשפט הזה, אם http://www.codecogs.com/gif.latex?h(t) הוא האינטגרנד ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?H(t) הוא הפונקצייה הקדומה שלו:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x)=%5Cintop_0%5Exh(t)%5C,dt=H(x)-H(0)

 

ומכאן:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?f'(x)=H'(x)=h(x)=%5Ccos(x%5E2+7x)

 

את שתי הנגזרות הבאות אתה מוצא באמצעות גזירה ע"י שימוש בכלל השרשרת. מייגע, אבל לא מתוחכם. אתה יכול לראות ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?f''(0)=0 מכיוון שיש לך שם סינוס של אפס. רק http://www.codecogs.com/gif.latex?f'''(0) יצא שונה מאפס.

[Niki]

ב1. - זה כפול שתיים , לא? כי על פניו דיברת רק על אזור אחד.

 

לא יוצאת לי הגזירה של האינטגרל הבא, לכן חששתי שגם בפיתוח טיילור תהיה בעיה, כנראה עשיתי משהו לא נכון.

 

איך היית גוזר את זה?

[אודי]

ב1. אע? רשמתי שהשטח שווה לסכום של שני אינטגרלים, כאשר האינטגרל הראשון מתאים לתחום הראשון שדברתי עליו והשני לתחום השני.

 

2. האינטגרל שאתה מביא עכשיו שונה מהאינטגרל ששמת בהתחלה.. כדי לגזור את האינטגרל הזה אתה באמת צריך את כלל לייבניץ, שבמקרה הספציפי הזה נותן:

 

מכיוון ש:

http://www.codecogs.com/gif.latex?F(x)=%5Cintop_0%5E%7Bg(x)%7D%20f(t)%20dt

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Cpartial%20F(x)%7D%7B%5Cpartial%20x%7D=f(x)g'(x)=(6+%5Ccos(x%5E2))(2x-2)

[Niki]

תודה, עזר