מטען נקודתי ומישור מוליך

[אודי ב]

חלקיק נקודתי בעל מסה m ומטען q נמצא בזמן t=0 במנוחה במרחק d ממישור אינסופי מוארק.

א. מהו הכוח הפועל ע החלקיק ברגע t=0?

ב. מהי האנרגיה הפוטנציאלית הכוללת של המערכת?

ג. כעבור כמה זמן יפגע החלקיק במישור?

 

אשמח לעזרה.

[אודי]

מאיפה השאלה? האם יש פתרון, לפחות ברמת תוצאה?

בכל מקרה, המפתח לפתרון השאלה הוא שיטת הדמויות.

השדה במישור האינסופי מתאפס, ולכן הפתרון לשדה באיזור המטען q מתאים לפתרון שבו המישור המוארק לא קיים וקיים במקומו מטען דמות q- במרחק 2d מהמטען המקורי בכיוון המישור המוליך המוארק.

 

א. הכוח שפועל על המטען q תואם, כאמור, לכח שמפעיל מטען נקודתי q- במרחק 2d. כלומר הגודל של הכח הוא

  http://www.codecogs.com/gif.latex?F=%5Cfrac%7Bkq%5E2%7D%7B4d%5E2%7D

והכיוון שלו הוא בכיוון המישור המוארק.

 

ב. שוב, האנרגיה מתאימה לאנרגיה האצורה במערכת שני המטענים הנקודתיים, שהיא מכפלה של המטען q בפוטנציאל של המטען q- במרחק 2d:

http://www.codecogs.com/gif.latex?W=V_%7B-q%7Dq=-%5Cfrac%7Bkq%5E2%7D%7B2d%7D

 

ג. משהו פה מוזר. יש מצב שאתה אמור להניח שהכח נשאר קבוע כמו ב-א' ואז הפתרון קל (תנועה בתאוצה קבועה). לדעתי זה לא נכון, כמובן, כי ברגע שהמטען מתקרב למישור המוארק גם מטען הדמות זז. אבל הפתרון שאני חושב שנכון מוביל למשוואה דיפרנציאלית מסובכת שלא ברור לי איך אתה אמור לפתור. הוא בספוילר פה אם אתה מעוניין. אם אתה מניח שהכוח נשאר קבוע (וכאמור, ממש אין סיבה להניח דבר כזה), מתקבל שהתאוצה היא

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?a=%5Cfrac%7Bkq%5E2%7D%7B4md%5E2%7D

ואז הזמן הוא פשוט (מנוסחא של תנועה בתאוצה קבועה, http://www.codecogs.com/gif.latex?d=%5Cfrac%7Bat%5E2%7D%7B2%7D):

http://www.codecogs.com/gif.latex?t=%5Csqrt%7B2d/a%7D=%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B8md%5E3%7D%7Bkq%5E2%7D%7D

 

 

 

כשהמטען q זז גם מטען הדמות שלו זז, והכח שפועל עליו משתנה בהתאם. נניח שהמרחק של המטען q מהמישור הוא r. אזי מטען הדמות נמצא במרחק 2r, והכוח שהוא מפעיל הוא (גודל וכיוון):

  http://www.codecogs.com/gif.latex?F=-%5Cfrac%7Bkq%5E2%7D%7B4r%5E2%7D

(הפעם שמרנו על המינוס כדי להדגיש שכיוון הכח מנוגד לכיוון החיובי של ציר r).

 

מהחוק השני של ניוטון אנחנו יודעים ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?F=ma=m%20%5Cddot%7Br%7D, כלומר סה"כ אנחנו מקבלים את המשוואה הדיפרנציאלית הבאה עבור המרחק מהמישור המוליך:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cddot%7Br%7D=-%5Cfrac%7Bkq%5E2%7D%7B4mr%5E2%7D

 

עם תנאי ההתחלה:

http://www.codecogs.com/gif.latex?r(0)=d

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cdot%7Br%7D(0)=0

 

(ניסיתי לנחש פתרון, אבל זה לא עובד כי תנאי ההתחלה על המהירות לא מתקיים, משאיר את הניחוש עד שיהיה לי רעיון טוב יותר איך פותרים את המשוואה הזו)

 

העובדה שהנגזרת השנייה הולכת כמו חזקה הפוכה ב-r רומזת שכדאי לי ללכת לכיוון של פתרון שהוא חזקה מסויימת בזמן, כנראה שברית.

תנאי ההתחלה אומר לי שצריך להיות קבוע כלשהוא בפתרון שימנע ממנו להתאפס ב-t=0. ננחש פתרון מהצורה:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?r(t)=A(B-t)%5E%7B%5Calpha%7D

 

בסופו של דבר מה שנצטרך מהפתרון הזה הוא את הקבוע B, כי הוא מתאים לזמן שבו הפתרון מתאפס. אבל צריך למצוא קודם את A ואלפא. מהצבה של הפתרון במשוואה והשוואת חזקות של t מתקבל:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Calpha=%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D

 

מהשוואת המקדמים המספריים של שני האגפים במשוואה (אחרי שהצבת את הפתרון ואחרי שהצבת את אלפא), נובע:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?A=(%5Cfrac%7B9kq%5E2%7D%7B8m%7D)%5E%7B1/3%7D

 

ומהצבה של A ואלפא בפתרון והשוואה לתנאי התחלה נובע:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?B=%5Cfrac%7Bd%5E%7B3/2%7D%7D%7B(%5Cfrac%7B9kq%5E2%7D%7B8m%7D)%5E%7B1/2%7D%7D

 

 

 

[אודי ב]

אהבתי.

[אודי]

אני שמח, אבל אין לי פתרון מניח את הדעת לג'. מאיפה השאלה?