פונקציות מרוכבות - גזירות של פונקציה בקוארדינטות פולריות

[אודי ב]

ידוע כי בקוארדינטות פולריות משוואות קושי רימן מקבלות את הצורה:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%7B%20%5Cpartial%20u%20%5Cover%20%5Cpartial%20r%20%7D%20=%20%7B1%20%5Cover%20r%7D%7B%20%5Cpartial%20v%20%5Cover%20%5Cpartial%20%5Ctheta%7D,%5Cquad%7B%20%5Cpartial%20v%20%5Cover%20%5Cpartial%20r%20%7D%20=%20-%7B1%20%5Cover%20r%7D%7B%20%5Cpartial%20u%20%5Cover%20%5Cpartial%20%5Ctheta%7D

 

נניח ש־f מוגדרת בקבוצה פתוחה A, גזירה שם והנורמה של f קבועה, כלומר, f| = const|. מבקשים ממני להראות בעזרת שתי המשוואת לעיל ש־f קבועה, כלומר, f = const.

 

עזרה?

[אודי]

ניתן לקבל ממשוואות קושי רימן את הקשר הבא בין גזירה ב-r ותטא:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?f,_r=-%5Cfrac%7Bi%7D%7Br%7Df,_%7B%5Ctheta%7D

 

פשוט תגזור את http://www.codecogs.com/gif.latex?f=u+iv לפי r ותציב את המשוואות.

 

כעת נגזור את המשוואה:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%7C%7Cf%7C%7C%5E2%20=%20f%5Cbar%7Bf%7D=C%5E2

 

לפי r. מאגף ימין מתקבל אפס. באגף שמאל מתקבל:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%7C%7Cf%7C%7C%5E2,_r=f,_r%5Cbar%7Bf%7D+f%5Cbar%7Bf%7D,_r=-%5Cfrac%7Bi%7D%7Br%7Df,_%7B%5Ctheta%7D%5Cbar%7Bf%7D+%5Cfrac%7Bi%7D%7Br%7Df%5Cbar%7Bf%7D,_%7B%5Ctheta%7D=0

 

עכשיו נצמצם i/r ונעביר את האיבר הראשון באגף שמאל אגף. קבלנו:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?f%5Cbar%7Bf%7D,_%7B%5Ctheta%7D=f,_%7B%5Ctheta%7D%5Cbar%7Bf%7D

.

אבל מפה נובע ש:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?0=%7C%7Cf%7C%7C%5E2,_%7B%5Ctheta%7D=f,_%7B%5Ctheta%7D%5Cbar%7Bf%7D+f%5Cbar%7Bf%7D,_%7B%5Ctheta%7D=2f,_%7B%5Ctheta%7D%5Cbar%7Bf%7D

 

וזה אומר או שהצמוד של f מתאפס (ואז f היא אפס זהותית בתחום) או שהנגזרת של f לפי תטא מתאפסת, ואז נובע שגם הנגזרת של f לפי r מתאפסת - ומכאן f פונקציה קבועה.

[אודי ב]

לשם הבהרה:

למה אתה מתכוון בסימון 

http://www.codecogs.com/gif.latex?f,_r

ו-

http://www.codecogs.com/gif.latex?f,_%7B%5Ctheta%7D?

האם זה לגבור את f לפי r ולפי theta?

 

ולמה אתה מתכוון ב Overbar שמופיע מעל f ב-

http://www.codecogs.com/gif.latex?%7C%7Cf%7C%7C%20=%20f%5Cbar%7Bf%7D=C?

[אודי]

הפסיק מסמן נגזרות חלקיות:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?f,_r%20%5Cequiv%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20r%7D

 

ה-overbar מסמן צמוד קומפלקסי.

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%7C%7Cf%7C%7C=%5Csqrt%7Bf%5Cbar%7Bf%7D%7D

 

וכן, נכון, חסר לי ריבוע שם. אני גוזר בעצם את הנורמה בריבוע.

:oops:

[אודי ב]

המון המון תודה.