שדה חשמלי ממסגרת ריבועית טעונה

[אודי ב]

נתונה מסגרת ריבועית באורך a טעונה בצפיפות מטען אורכית lambda. אני צריך לחשב את השדה החשמלי שמפעילה המסגרת לאורך ציר הסימטריה של המסגרת. (כלומר הישר העובר במרכז המסגרת וניצב למישור שבו היא מוכלת).

מה החישוב שצריך לעשות?

[אודי]

קודם כל, אם נסמן את כיוון z ככיוון ציר הסימטריה של המסגרת, ברור משיקולי סימטריה שהכיוון היחידי שבו יכול להיות שדה הוא הכיוון הזה, בכיוון ההפוך לכיוון שבו נמצאת המסגרת.

בנוסף ברור (מאותם שיקולים) שהתרומה של כל צלע לשדה בכיוון הזה זהה, אז מספיק לחשב את רכיב z של השדה שנתרם ע"י צלע אחת ואז אפשר להכפיל אותו ב-4 ולהגיע לתשובה הסופית.

 

נניח שאתה מחשב את השדה בנקודה שנמצאת במרחק r ממרכז הריבוע על ציר הסימטריה.

נבחר את ראשית הצירים כך שהיא נמצאת על מרכז הצלע של הריבוע שאת התרומה שלה אנחנו מעוניינים לחשב וציר x מקביל לכיוון הצלע. 

אזי הקוארדינטות של הנקודה שבה מחשבים את השדה הן http://www.codecogs.com/gif.latex?(0,a/2,r).

 

נסתכל על אלמנט אורך קטן מצלע הריבוע שנמצא בנקודה (x,0,0). המטען שלו הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?dq=%5Clambda%20d%20x והמרחק שלו מנקודת הייחוס שלנו הוא

http://www.codecogs.com/gif.latex?R=%5Csqrt%7Bx%5E2+a%5E2/4+r%5E2%7D

 

לכן סה"כ התרומה שלו לשדה היא:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?dE_z=%5Cfrac%7Bkdq%7D%7BR%5E2%7D%5Ccos%5Cphi=%5Cfrac%7Bk%5Clambda%20dx%7D%7Bx%5E2+a%5E2/4+r%5E2%7D%5Ccos%5Cphi=%5Cfrac%7Bk%5Clambda%20r%20dx%7D%7B(x%5E2+a%5E2/4+r%5E2)%5E%7B3/2%7D%7D

 

כאשר הוספנו את פקטור הקוסינוס (http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ccos%5Cphi=r/%5Csqrt%7Bx%5E2+a%5E2/4+r%5E2%7D) כדי לחשב את רכיב z של התרומה בלבד.

 

עכשיו צריך לעשות אינטגרציה על הביטוי עבור http://www.codecogs.com/gif.latex?-a/2%20%5Cleq%20x%20%5Cleq%20a/2 ולהכפיל את התוצאה ב-4. בהצלחה.