נפח של אלמנט מתוך כדור

[אודי ב]

נתון כדור (sphere) ברדיוס R.

אני רוצה למצוא מה הנפח של פרוסה מהכדור הנתונה על ידי http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ctheta שיורדת מ"הקוטב הצפוני" ועובי הפרוסה מוגדר על ידי מפתח קטן http://www.codecogs.com/gif.latex?d%5Ctheta.

ישנו ציור להמחשה. (להתעלם מ http://www.codecogs.com/gif.latex?r,%20m,%20l.

 

http://img.sparknotes.com/figures/4/4e5c9cc7eb117b7b32b4bc78f3b586c9/shell.gif

מצאתי שהשטח של הפרוסה שווה ל- http://www.codecogs.com/gif.latex?A=2%20%5Cpi%20R%20%5Csin%20%5Ctheta%20d%5Ctheta. אני מעוניין בנפח.

[אודי]

ההנחה שמובלעת בחישוב השטח שלך היא שהפרוסה דקה עד כדי כך שניתן להתייחס אליה כאל גליל (שרדיוס בסיסו http://www.codecogs.com/gif.latex?r'=R%20%5Csin%5Ctheta וגובהו http://www.codecogs.com/gif.latex?%20h%20=%20R%5Csin%5Ctheta%20d%5Ctheta )

אם משתמשים בהנחה הזו אז קל לחשב את נפח הגליל הזה. הוא פשוט http://www.codecogs.com/gif.latex?%20%5Cpi%20r'%5E2h=%5Cpi%20R%5E3%20%5Csin%5E3%5Ctheta%20d%20%5Ctheta.

[אורח אורח]

אני מודה לך על התגובה. בהתחלה חשבתי שזה הביטוי הנכון. אבל בוא נעשה בדיקה קטנה:

ידוע שנפח של כדור זה http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B4%20%5Cpi%20%7D%7B3%7DR%5E3

אם אני עושה אינטגרל ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?dV הזה אז אני מקבל:

עושה אינטגרל ל- http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cin_0%5E%5Cpi%20%5Csin%5E2(%5Ctheta)%5Cd%5Ctheta

ומקבל http://www.codecogs.com/gif.latex?V=%5Cpi%20/2%20%5CcdotR%5E2%20%5Ccdot%20%5Cpi

וזה לא נכון בכלל.

או שטעיתי בחישוב.

[אודי ב]

אני מודה לך על התגובה. בהתחלה חשבתי שזה הביטוי הנכון. אבל בוא נעשה בדיקה קטנה:

ידוע שנפח של כדור זה http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B4%20%5Cpi%20%7D%7B3%7DR%5E3

אם אני עושה אינטגרל ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?dV הזה אז אני מקבל:

עושה אינטגרל ל- http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cint_0%5E%5Cpi%20%5Csin%5E2(%5Ctheta)%20d%5Ctheta

ומקבל http://www.codecogs.com/gif.latex?V=%5Cpi%20/2%20%5Ccdot%20R%5E2%20%5Ccdot%20%5Cpi

וזה לא נכון בכלל.

או שטעיתי בחישוב.

[אודי]

אני רואה שהייתה לי טעות בביטוי כי גובה הגליל הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?Rd%5Ctheta ולא http://www.codecogs.com/gif.latex?d%5Ctheta. עכשיו זה צריך לעבוד.

8-[

[אודי ב]

כי אני רוצה לפתור שאלה מפיסיקה 2מ עם ה dV הזה.

אני רוצה למצוא את השדה שמפעילה פרוסה כזו על מטען שנמצא מעל הכדור, כאשר הכדור טעון בצפיפות מטען נפחית rho.

חוץ מזה, זה העיקרון של יעקוביאן וכל הרעיון שעומד מאחורי אינטגרלים כפולים ומשלושלשים לא?

[אודי]

כן כן כן. אתה צודק. הייתה לי טעות בגובה של הגליל. עכשיו זה עובד.

[אודי ב]

OK

ועכשיו, כדי למצוא את נפח הכדור מאיפה עד איפה אני עושה את האינטגרל?

מ- 0 עד 0.5pi לא נותן את התשובה הנכונה (כפי שכבר אמרתי).

[אודי]

שכחתי את העריכה האחרונה לפני שיצאתי מהבית - הגובה של הגליל הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?h=R%5Csin%5Ctheta%20d%5Ctheta. ואז זה יוצא באינטגרציה מאפס עד פאי.

 

כדי להבין למה זה הגובה של הגליל אתה צריך להסתכל על חתך רוחב של הכדור, על משולש אינפיטיסימלי בראש הפרוסה.

היתר במשולש הזה הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?Rd%5Ctheta (קטע ישר בקירוב במקרה האינפיטיסימלי) והניצב התחתון הוא הגובה המבוקש, כלומר קטע ישר שמחבר בין הבסיסים. הזווית מולו היא תטא (עם קצת מאמץ ונפנוף ידיים אפשר לראות, אם כי זה מסתמך על משולשים אינפיטיסמלים מוזרים שבהן בין השאר יש משולש שווה שוקיים ששתי הזוויות בו הן 90 בקירוב). 

כשאתה משאיף את http://www.codecogs.com/gif.latex?d%5Ctheta לאפס היתר לא יכול להיות הגובה של הגליל כי הוא מתמזג עם אחד הבסיסים, ולכן הערך הקודם שספקתי היה שגוי.

 

כפיצוי על העריכות הרבות, קבל דרך פחות כורדית להגיע לאותה תוצאה: אלמנט נפח בקואורדינטות כדוריות הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?r%5E2%20%5Csin%20%5Ctheta%20%5C,%20dr%20d%5Ctheta%20d%5Cphi. עבור הפרוסה שלך, r נע בין http://www.codecogs.com/gif.latex?R%5Ccos%5Ctheta ל-R ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cphi בין אפס לשני פאי. זה נותן את אותה תוצאה לנפח הפרוסה.

 

עריכה: אה, ולדעתי בשטח שלך חסר R אחד. השטח צ"ל פרופורציוני ל-R בריבוע (עוד לפני האינטגרציה לפי תטא).