קשר בין דרגת מטריצה והעקבה שלה?

[תמרד]

אשמח מאוד אם מישהו יוכל להסביר לי איך מגיעים לפיתרון בשאלה הזאת, לצערי מעלים את המבחנים משנים קודמות למודל כשהם רק עם תשובות ללא דרך פיתרון.

 

[אסף]

" סכום הערכים העצמיים של מטריצה שווה לעקבה שלה."

 

תוצאות החיסור של המטריצות בסוגריים הן מטריצות מדרגה 5, כלומר יש שני וקטורים בלתי תלויים שהכפלה שלהם בתוצאת החיסור היא אפס. לכן הם וקטורים עצמיים, והם מתאימים לערך העצמי 4 או 5. יש לנו אם כן את ארבעת הערכים העצמיים: 4, 4, 5, 5

[Jak Barenson]

<

הרעיון הכללי הוא לקשר את שנייהם אל ערכים עצמיים: את הדרגה לאיפוס הדטרמיננטה (ניתן לראות את הפורמט הסטנדרטי לפולינום אופייני), ולהשתמש בתכונה שהעקבה היא סכום הערכים המוחלטים.
 
אני מתנצל מראש, אין לי מושג איך לעבוד עם הכלים של הפורום הזה - אז אני כותב את הכל בטקסט פשוט (אם זה לא קריא - שלח מייל ואשלח תמונה, או קובץ וורד).
 
אם משהו לא מובן הודע ואסביר.

>

 

נתון:

n=7

r(A)=4

 

r(A)<n

ולכן מדורג למטריצה קנונית עם דרגה לא מלאה, ולכן:

det(A)=0=det(0*I-A)

ולכן 0 הוא ערך עצמי של המטריצה (ברור למה?).

הריבוי הגאומטרי הוא מימד מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית הבאה:

(x*I-A)*v=0

או במקרה שלנו:

(0*I-A)*v=A*v=0

וכידוע, עבור מערכת הומוגנית שכזו מימד המערכת הוא (נסמן על ידי G₀):

G₀=n-r(0*I-A)=n-r(A)=7-4=3

 

באופן דומה עבור 5:

rank(5*I-A)=5<7=n

->

det(5*I-A)=0

->

5 ערך עצמי. נמצא ריבוי גאומטרי:

G₅=n-r(5*I-A)=7-5=2

 

ועבור 4:

rank(A-4*I)=rank(4*I-A)=5<7=n

->

det(4*I-A)=0

->

4 ערך עצמי. נמצא ריבוי גאומטרי:

G₄=n-r(4*I-A)=7-5=2

 

המטריצה מסדר 7x7, ולכן סכום כל הריבויים האלגברים שלה הוא 7 (כי סך הכל יש 7 ערכים עצמיים). אם נשים לב, נראה שגם סכום כל הריבוים הגיאומטרים שלנו הוא 7, ובתוספת לתכונה הקובעת כי הריבוי הגאומטרי לכל ערך עצמי תמיד קטן מהריבוי האלגברי, נקבל כי במקרה זה - הריבוי האלגברי של כל ערך עצמי שווה לריבוי הגאומטרי שלו (מובן?), ועל כן נקבל:

x_1,2,3=0

x_4,5=4

x_6,7=5

 

לסיכום, נשתמש בתכונה:

tr(A)=SUM{x_i}=3*0+2*4+2*5=0+8+10=18

ועל כן:

tr(A)=18