התכנסות טורים

[riovelo]

שלום, האם למישהו יש רעיון באילו מבחני השוואה ניתן להשתמש כדי למצוא האם הטורים מתכנסים א מתבדרים? הרי ברור שמבחן השורש והמנה לא עוזרים פה. ואני מתקשה למצוא טורים שאיתם אני אעשה מבחני השוואה רגילים/גבוליים.
אשמח לעזרה, תודה מראש.

[אודי]

מתנצל על האיחור, פשוט לא היה לי מושג. נראה שאפשר להשתמש במבחן האינטגרל עבור הטור השני:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cint_1%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D-%5Cln(1+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D)dx=%7C%5Cln(x)-x%5Cln(1+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D)-%5Cln(x+1)%7C_1%5E%7B%5Cinfty%7D=%5Cln(%5Cfrac%7B1-%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%7D%7B(1+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D)%5Ex%7D)%7C_1%5E%7B%5Cinfty%7D=2%5Cln(2)-1

 

לגבי הטור הראשון, טרם פצחתי.

[אודי]

נראה שאפשר להשתמש במבחן ההשוואה הגבולית בין הטור הראשון לטור (המתבדר)  http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CSigma_%7Bn=1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B%5Cpi%5E2%7D%7Bn%7D  מכיוון ש:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%20%5Clim_%7Bn%20%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B1-%5Ccos(%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B%5Csqrt%7Bn%7D%7D)%7D%7B%20%5Cfrac%7B%5Cpi%5E2%7D%7Bn%7D%7D=%5Clim_%7Bn%20%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B1-(1-%5Cfrac%7B%5Cpi%5E2%7D%7Bn%7D)%7D%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%5E2%7D%7Bn%7D%7D=1

 

כאשר החלפתי את קוסינוס בשני האברים הראשונים בפיתוח טיילור של קוסינוס ליד אפס (מותר, כי הארגומנט של קוסינוס שואף לאפס באינסוף והאבר הבא בפיתוח טיילור שואף לאפס יחסית לאברים הקודמים).