מד"ר סדר II

[riovelo]

שלום, אני אשמח לעזרה בסעיפי השאלה.
בסעיף א'- אני לא בטוח אם התשובה היא נכונה, כי עבור מד"ר לינארית מסדר שני יהיה פתרון יחיד בקטע אם p ו-q רציפות ( מה שאכן נכון ) ואם בקטע יהיו תנאי התחלה גם עבור ערך הפונקציה בנקודה מסוימת, וגם על ערך הנגזרת באותה נקודה, ופה יש תנאי התחלה רק על הערכים של y1 ו- y2 בנקודה, ולא גם של הנגזרות שלהם. ובכלל, המשפט תופס כשמדובר בקטע חצי פתוח? איך אמורה לעזור פונקציית העזר?
לגבי הסעיפים אחרים אין לי ממש כיוון.
אשמח לעזרה, תודה.

[אודי]

כשאת גוזרת את היחס בין הפתרונות http://www.codecogs.com/gif.latex?h(x) את מקבלת שהוא פרופורציוני לוורונסקיאן (ובעל אותו סימן):

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?h'(x)=%5Cfrac%7By_2'y_1-y_1'y_2%7D%7By_1%5E2%7D=%5Cfrac%7BW(x)%7D%7By_1%5E2%7D

 

הורונסיקאן עבור שני פתרונות של משוואה הומוגנית מתאפס רק אם אחד הפתרונות הוא קומבינציה ליניארית של השני (http://www.codecogs.com/gif.latex?y_2(x)=ay_1(x)+b), ואז הוא מתאפס בכל הקטע.

כלומר יש פה שלוש אפשרויות:

 

1. הורונסקיאן מתאפס בכל הקטע - http://www.codecogs.com/gif.latex?h'(x) מתאפסת בכל הקטע - היחס בין הפתרונות קבוע;

2. הורונסקיאן חיובי בכל הקטע - http://www.codecogs.com/gif.latex?h'(x) חיובי בכל הקטע - היחס בין הפתרונות מונוטוני עולה;

3. הורונסקיאן שלילי בכל הקטע - http://www.codecogs.com/gif.latex?h'(x) שלילי בכל הקטע - היחס בין הפתרונות מונוטוני יורד;

 

הנתון הנוסף בכל סעיף מאפשר לך לשייך כל סעיף לאחת האפשרויות לעיל ולהגיע למסקנות המתאימות.

לדוגמא, בסעיף א' את רואה שהיחס בין הפתרונות חייב להיות קבוע, מכיוון שהוא מקבל את אותו ערך בשתי נקודות. מכיוון שהערך הזה הוא 1, נובע שהפתרונות הם אותו פתרון.

 

אגב, שמתי לב ששאלות שאין לך מושג איך לגשת אליהן במד"ר נוטות בד"כ להיות קשורות לורונסקיאן איכשהוא. מושג תלוש כזה.