תרגיל קטן בקינימטיקה

[markus]

גוף מתחיל ממנוחה וגולש במורד משטח בעל שיפוע אלפא. מה צריכה להיות הזווית כדי שהגוף יעבור מרחק אופקי מסויים בזמן מינימאלי?

 

אני לא מצליח לבנות משוואות שיתארו נכון את התלות בין t והזווית אלפא.

אשמח להכוונה, תודה

[אודי]

בבעייה שתארת לא צריך משוואות. מספיקה טריגונומטריה. התאוצה במורד המדרון היא http://www.codecogs.com/gif.latex?g%5Csin%5C(%5Calpha). הרכיב בכיוון האופקי של התאוצה הזו הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?g%5Csin%5C(%5Calpha)%5Ccos(%5Calpha).

כדי שזמן המעבר של מרחק אופקי יהיה מינימלי הרכיב האופקי של התאוצה צריך להיות מקסימלי;

המקסימום על http://www.codecogs.com/gif.latex?g%5Csin%5C(%5Calpha)%5Ccos(%5Calpha) מתקבל ב-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Calpha=45%5E%7B%5Ccirc%7D (אפשר לראות ע"י שימוש בזהות http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ccos(%5Calpha)%5Csin(%5Calpha)=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Csin(2%5Calpha). המקסימום עבור סינוס מתקבל בזווית ישרה).

[markus]

קודם כל, תודה רבה - באמת פשוט ממה שחשבתי.

בסעיף אחר בשאלה מכניסים מיו מקדם חיכוך ושואלים שוב את השאלה.

הביטוי יצא לי: a = 0.5sin2y - Mu(cosy)^2תאוצה (כאשר Mu הוא מקדם החיכוך).

לאחר גזירה ע"מ למצוא מקסימום dx/dy:

cos2y + Musin2y = 0

נקבל ש- yx שווה ל:

0.5arccot(-Mu.

העניין הוא שכאשר נשאיף את Mu לאפס נקבל 45 מעלות שליליות (-pi/4) במקום 45 שמצאנו בסעיף הקודם. מדוע אני מקבל תוצאה כזאת?

[אודי]

אני לא מבין למה אתה מקבל תוצאה כזו. http://www.codecogs.com/gif.latex?arcctg(0)=%5Cpi/2

[markus]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+arccot%28-x%29+x+goes+0

 

שאיפה מימין לאפס

[אודי]

לפונקציה ארקוטנגנס יש ענפים. כבודם של וולפרם במקומו מונח, אבל הם בחרו להציג שני חצאי ענפים לא רציפים במקום אחד רציף, במקרה הזה האחד שעובר במקום הרלוונטי.

בכל מקרה, מכיוון שהפונקצייה הזו למעשה לא פונקצייה חצי פאי הוא תשובה נכונה באותה מידה כמו מינוס חצי פאי (לשאלה מהו ארקוטנגנס של אפס, לא לשאלה הפיסיקלית).

אתה יודע לבחור את התשובה מהענף הנכון ולפסול את הענפים הלא רלוונטים.

[markus]

מאה אחוז, תודה!