אינטגרל פשוטטטטט

[דפנה]

אינטגרל:

2X

חלקי

9X²-12Xּּ+4dx

 

                                     תודה.

[אודי]

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B2x%7D%7B9x%5E2-12x+4%7D=%5Cfrac%7B2x%7D%7B(3x-2)%5E2%7D=%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D(3x-2)+%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%7D%7B(3x-2)%5E2%7D=%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B3x-2%7D+%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B(3x-2)%5E2%7D

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cintop%5Cfrac%7B2x%7D%7B9x%5E2-12x+4%7D%5C,dx=%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Cintop%5Cfrac%7B1%7D%7B3x-2%7D%5C,dx+%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%5Cintop%5Cfrac%7B1%7D%7B(3x-2)%5E2%7D%5C,dx=

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B2%7D%7B9%7D%5Cln(3x-2)-%5Cfrac%7B4%7D%7B9%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B3x-2%7D

[דפנה]

תודה רבה,

לא כל כך הצלחתי להבין את הפתרון. מה קרה למעלה עם כל השברים האלה???

[אודי]

השבר הראשון הכיל במכנה תבנית ריבועית ששווה ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?(3x-2)%5E2 (תעלי בריבוע ותבדקי). מה-2x שהיו במונה יצרתי 3x-2 + שארית כדי שאוכל לקבל סכום של שני שברים עם אינטגרל אלמנטרי.

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?2x=%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D3x=%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D(3x-2)+%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D2=%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D(3x-2)+%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D

[דפנה]

לצערי עדיין לא הבנתי...

אולי אם תאמר לי

באיזו שיטה השתמשת?  (אינטגרציה בחלקים, חילוק פולינום, פירוק לשברים חלקיים ושיטת ההצבה).

פשוט אילו השיטות שאותם למדנו....

תודה על הכל..

[אודי]

עשיתי פירוק לשברים חלקיים.

[דפנה]

אוקי.

טוב ,האמת שזה בדיוק סוג האינטגרל שאני לא יודעת...

אז אולי אתה תוכל להסביר לי את זה.

מה שאני רק יודעת זה שאם

יש לי  במונה ביטוי אז אותו אני משווה לA וB.

ואז מנסים למצוא את A וB ואז עושים ln המספרים שמצאנו.. 2X=Aׁ(3X-2)+B(3X-2ׁׂ

משהו זה, כן?!

[דפנה]

איזה תסכול!!!!!

אני לא מבינה!!!!

נראה לי אני לא אלמד כבר את הנושא הזה וזהו!

:unjoy:

[דפנה]

"מה-2x שהיו במונה יצרתי 3x-2 + שארית כדי שאוכל לקבל סכום של שני שברים עם אינטגרל אלמנטרי".[/quote של אודי]

למה דווקא את הביטוי הזה? ואיך יודעים מה להציב במונה?

[אודי]

האינטרנט מלא בהסברים לנושא הזה, בטח אחד מהם יהיה ברור.

 

בכל מקרה, את מתחילה מפירוק המכנה לגורמים. במקרה שלנו:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?9x%5E2-12x+4=(3x-2)(3x-2)

 

מכיוון שיש לך גורם יחיד שחוזר על עצמו, הפירוק האפשרי היחידי שיכול להועיל לך הוא:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B2x%7D%7B9x%5E2-12x+4%7D=%5Cfrac%7BA%7D%7B3x-2%7D+%5Cfrac%7BB%7D%7B(3x-2)%5E2%7D

 

כש-A ו-B הם מספרים. עכשיו את עושה מכנה משותף באגף ימין ומקבלת

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B2x%7D%7B9x%5E2-12x+4%7D=%5Cfrac%7B2x%7D%7B(3x-2)%5E2%7D=%5Cfrac%7B(3x-2)A+B%7D%7B(3x-2)%5E2%7D=%5Cfrac%7B3Ax+B-2A%7D%7B(3x-2)%5E2%7D

 

כלומר, כדי שהפירוק יעבוד צריך ש:

http://www.codecogs.com/gif.latex?3Ax+B-2A=2x

 

מכיוון שבשני האגפים יש לך פולינומים, את יכולה להשוות ביניהם אבר אבר. זה נותן לך שתי משוואות:

http://www.codecogs.com/gif.latex?3A=2  (המקדם של x צ"ל זהה בשני האגפים)

http://www.codecogs.com/gif.latex?B-2A=0  (המקדם החופשי צריך להיות זהה בשני האגפים).

 

מכאן הפתרון הוא

http://www.codecogs.com/gif.latex?A=%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D

http://www.codecogs.com/gif.latex?B=%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D

[דפנה]

ת-ו-ד-ה ע-נ-ק-י-ת על ההסבר המושלם! וכמובן על הסבלנות האדירה!

 

הצלחת לגרום לי לשוב ולחייך :hello2:      :icon_thumright:

 

תמשיך לעזור לנו.... זה באמת משמח!!!

[אודי]

על לא דבר

:)