למה זה נכון או למה צריך את זה? אין בעיה להראות שזה נכון, אבל באמת קצת לא הייתי ברור לגבי למה צריך את זה. נדמה לי שזה יכול לעזור לנמק לגבי חסימת הסינוס (אנחנו יודעים איך סינוס נראה/מתנהג בקטע [0,1]), אבל אולי זה באמת היה מיותר.
בכל מקרה אודי, ככה חסמתי: http://www.codecogs.com/gif.latex?n%5E2sin(%5Cfrac%7Bn%5E2%7D%7Bn%5E4+n%5E2%7D)%5Cleq%20%5Csum_%7Bk=1%7D%5E%7Bn%5E2%7Dsin(%5Cfrac%7Bn%5E2%7D%7Bn%5E4+k%7D)%5Cleq%20n%5E2sin(%5Cfrac%7Bn%5E2%7D%7Bn%5E4+1%7D) יש לנו סכום של n^2 איברים חיוביים, אז כמובן שהסכום קטן מ-n^2 פעמים האיבר המקסימלי בסכום (וכנ"ל עבור גדול מ-). שני הצדדים שואפים ל-1 ולכן מסנדוויץ'...
אני התכוונתי לזה: http://www.codecogs.com/gif.latex?a_%7B2n%7D=%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D+%5Cfrac%7Ba_%7B2n-2%7D%7D%7B2%7D. ואז (בהנחה שהגבול קיים) מאריתמטיקה של גבולות נובע http://www.codecogs.com/gif.latex?L=%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D+%5Cfrac%7BL%7D%7B2%7D.
אם בכל זאת אתה רוצה להשתמש בנוסחאות הסגורות שמצאת, הדרך להוכיח שהן באמת מתארות את איברי הסדרה היא באמצעות אינדוקציה (גם אז נדמה לי שתצטרך את המשוואה הראשונה שעכשיו רשמתי).
Flying Python's הודעה בנושא חישוב טור - חדו"א 1ת' מסומן כתשובה