אודי

כנראה שאפשר להוכיח שהפונקצייה הסתומה הזו עומדת בתנאי משפט הפונקציות הסתומות, אחרת התרגיל לא פתיר. בכל מקרה, אין צורך שנטריח את עצמנו בזה. נניח שכן ונראה שזה מוביל לתשובה. אנחנו מניחים שקיימת פונקצייה y=f(x) שמתאימה לפונקצייה הסתומה הזו בסביבת הנקודה http://www.codecogs.com/gif.latex?(x_0,y_0)=(%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D,0) וצריך למצוא את הנגזרת שלה, http://www.codecogs.com/gif.latex?y', שמתאימה לשיפוע המשיק המבוקש L. הפונקציה הסתומה שלנו היא: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csin(2x+y)+xy=0 נגזור אותה לפי x בעזרת כלל השרשרת (את התלות ב-x קל לגזור, כשגוזרים את y לפי x מכפילים בנגזרת הפנימית http://www.codecogs.com/gif.latex?y'): מקבלים: http://www.codecogs.com/gif.latex?2%5Ccos(2x+y)+%5Ccos(2x+y)y'+y+xy'=0 ומכאן http://www.codecogs.com/gif.latex?y'=-%5Cfrac%7By+2%5Ccos(2x+y)%7D%7Bx+%5Ccos(2x+y)%7D=-%5Cfrac%7B0-2%7D%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D-1%7D=%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D-1%7D המשוואה של המשיק היא: http://www.codecogs.com/gif.latex?y=y'(x-x_0)+y_0=%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D-1%7D(x-%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D) והוא חותך את ציר y בנקודה שבה x=0, שיוצאת: http://www.codecogs.com/gif.latex?y=%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D-1%7D(0-%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D)=%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7B2-%5Cpi%7D

מה זה? התכניות של קאסה דה פסיי?

כן. היה פה שבר שמועלה בחזקת אינסוף. זה רומז לכיוון הגבולות ממשפחת ה-e.

http://www.codecogs.com/gif.latex?(%5Cfrac%7Bn%5E2+3%7D%7Bn%5E2+5n-4%7D)%5E%7B2n%7D=(1-%5Cfrac%7B5n-7%7D%7Bn%5E2+5n-4%7D)%5E%7B2n%7D=(1-%5Cfrac%7B10-%5Cfrac%7B14%7D%7Bn%7D%7D%7B2n+10-%5Cfrac%7B8%7D%7Bn%7D%7D)%5E%7B2n%7D כאשר - בין הצעד הראשון לשני בדקתי מה ההפרש בין המכנה למונה כדי ליצר הפרש בין 1 לשבר; - ובין הצעד השני לשלישי כפלתי את המונה והמכנה של השבר החדש ב-2 וחלקתי ב-n. - בשבר בביטוי החדש שהתקבל, 10 הוא האבר הדומיננטי במונה ו-2n במכנה, ולכן הוא זהה לגבול של הביטוי http://www.codecogs.com/gif.latex?(1-%5Cfrac%7B10%7D%7B2n%7D)%5E%7B2n%7D שהוא פשוט http://www.codecogs.com/gif.latex?e%5E%7B-10%7D (כי כידוע הגבול ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?(1-%5Cfrac%7Bx%7D%7Bn%7D)%5E%7Bn%7D הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?e%5E%7B-x%7D)

א. המשוואה הזו היא השורה היחידה השונה מאפס במטריצה 3X3 שמתארת מערכת משוואות בשלושה נעלמים. דרגת המטריצה הזו היא כמובן 1, ולכן מימד מרחב הפתרונות הוא 2 (כי הסכום שלהם צ"ל 3). לכן אתה צריך למצוא שני פתרונות בלתי תלויים ואתה מסודר - יש בסיס. קל למצוא אותם מדרישה להתאפסות רכיבים שונים של וקטור הפתרון http://www.codecogs.com/gif.latex?(x_1,x_2,x_3). אם נדרוש שהרכיב הראשון הוא 0, נקבל שהוקטור (0,1,1) הוא פתרון. אם נדרוש שהרכיב הראשון יהיה אחד נקבל שהוקטור http://www.codecogs.com/gif.latex?(1,-i,i) הוא פתרון. שני הוקטורים כבר ניצבים זה לזה ולכן הם בסיס (לא מנורמל) למרחב הפתרונות. ב. הפעם המשוואה הזו היא השורה היחידה השונה מאפס במטריצה 4X4 שמתארת מערכת משוואות בארבעה נעלמים. שוב, דרגת המטריצה היא כמובן 1, ולכן מימד מרחב הפתרונות הוא 3. כבר מצאנו שני אברים בבסיס של מרחב הפתרונות - הם הוקטורים מסעיף א' שמקיימים את המשוואה ומתאימים למטריצה 4X4 אם נוסיף להם רכיב נוסף. אנחנו יודעים שהוקטור (0,0,0,1) מקיים את המשוואה באופן טריוויאלי - כי המקדם של הרכיב הרביעי במשוואה הוא אפס, ולכן אם נוסיף אפס לשני הוקטורים מסעיף ב' נקבל שהוקטורים (0,1,1,0), http://www.codecogs.com/gif.latex?(1,-i,i,0) ו-(0,0,0,1), ניצבים זה לזה ומקיימים את המשוואה ולכן מהווים בסיס למרחב הפתרונות.

הייתה לי יופי של הוכחה מפורטת פה אתמול בשלוש בלילה רק שהיא הייתה שגוייה לחלוטין. אני כבר לא זוכר את הפרטים הקטנים בתיאוריה של החלפת משתנים. :( בגדול זו לא שעה טובה להוכחות בחדו"א.

עריכה: ט.ל.ח. ננסה שוב מאוחר יותר היום

נרשום את המבנה הכללי של כל אברי b: http://www.codecogs.com/gif.latex?b_1=%5CSigma_i%5C,x_iA_%7Bi1%7D=x_1A_%7B11%7D+x_2A_%7B21%7D+...+x_mA_%7Bm1%7D http://www.codecogs.com/gif.latex?b_2=%5CSigma_i%5C,x_iA_%7Bi2%7D=x_1A_%7B12%7D+x_2A_%7B22%7D+...+x_mA_%7Bm2%7D ... http://www.codecogs.com/gif.latex?b_n=%5CSigma_i%5C,x_iA_%7Bin%7D=x_1A_%7B1n%7D+x_2A_%7B2n%7D+...+x_mA_%7Bmn%7D אבל ניתן לראות שלכל האיברים בסכומים המפורטים שנמצאים זה מתחת לזה יש גורם משותף, ולכן ניתן לכתוב את n השוויונות האלו בצורה וקטורית: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bb%7D=x_1A_%7B1,1:n%7D+x_2A_%7B2,1:n%7D+...+x_mA_%7Bm,1:n%7D וזוהי בדיוק קומבינציה ליניארית של שורות המטריצה (http://www.codecogs.com/gif.latex?A_%7B1,1:n%7D היא השורה הראשונה במטריצה, http://www.codecogs.com/gif.latex?A_%7B2,1:n%7D השורה השנייה, וכו'. למען האמת אני לא זוכר איך נהוג לסמן שורות של מטריצה, אז נצמדתי לסינטקס של מטלב).

הסדרה מתכנסת לאפס. המבנה של האיבר הכללי בסדרה רומז לך ללכת על נוסחת הכפל המקוצר http://www.codecogs.com/gif.latex?a%5E3-b%5E3=%20(%20a%20-%20b%20)%20(a%5E2+ab+b%5E2) כאשר http://www.codecogs.com/gif.latex?a=(n%5E2-9n+1)%5E%7B1/3%7D http://www.codecogs.com/gif.latex?b=(n%5E2+8n-3)%5E%7B1/3%7D אם תכפול את האיבר הכללי בסדרה (http://www.codecogs.com/gif.latex?a%20-%20b ) בביטוי המתאים לגורם השני במכפלה http://www.codecogs.com/gif.latex?(a%5E2+ab+b%5E2) ותחלק אותו באותו ביטוי, תקבל במונה: http://www.codecogs.com/gif.latex?a%5E3-b%5E3=n%5E2-9n+1-n%5E2-8n+3=4-17n ובמכנה: http://www.codecogs.com/gif.latex?a%5E2+ab+b%5E2=(n%5E2-9n+1)%5E%7B2/3%7D+(n%5E2-9n+1)%5E%7B1/3%7D(n%5E2+8n-3)%5E%7B1/3%7D+(n%5E2+8n-3)%5E%7B2/3%7D אם תוציא מהמכנה גורם משותף http://www.codecogs.com/gif.latex?n%5E%7B4/3%7D תראה שבגבול שבו n שואף לאינסוף המכנה הולך כמוהו (זו החזקה הכי גבוהה שם) והמונה הולך כמו n. כלומר כל הסדרה מתנהגת כמו http://www.codecogs.com/gif.latex?n%5E%7B-1/3%7D, כלומר הולכת לאפס. (פורמלית, אתה יכול להראות שהסדרה היא מכפלה של גורם ששואף לקבוע ב-http://www.codecogs.com/gif.latex?n%5E%7B-1/3%7D ששואף לאפס ולהשתמש במכפלת גבולות).

וואלה צודק. מ-taptalk אבל אני בכלל לא גולש בפורום משם, אז למה זה השתנה פתאום? :angry:

התחלתי לקבל בסופ"ש התראות מייל על Like-ים (לתיקיית הספאם...). באופן ביזארי, גם כשבטלתי לגמרי את ההתראות על ה-Like-ים. כלומר היה מצב שאני מקבל התראות כאלו במייל אבל לא בפורום. למה זה קורה? למה עכשיו? איך נפטרים מזה?

D=(AB)C http://www.codecogs.com/gif.latex?AB_%7Bil%7D=%5CSigma_k%20%5C,%5C,a_%7Bik%7Db_%7Bkl%7D http://www.codecogs.com/gif.latex?D_%7Bij%7D=%5CSigma_l%20AB_%7Bil%7Dc_%7Blj%7D=%5CSigma_l%5C,%5C,(%5CSigma_k%5C,%20%5C,a_%7Bik%7Db_%7Bkl%7D)c_%7Blj%7D=%5CSigma_l%5C,%5C,%5CSigma_k%5C,%20%5C,a_%7Bik%7Db_%7Bkl%7Dc_%7Blj%7D כאשר בין הצעד השני לשלישי בצעתי את המכפלה בין הסכום בסוגריים לאבר השלישי (שגם הוא נסכם), כלומר השתמשתי בדיסטריבוטיביות של כפל רגיל, לא כפל מטריצות. E=A(BC) http://www.codecogs.com/gif.latex?BC_%7Bkj%7D=%5CSigma_l%5C,%20%5C,b_%7Bkl%7Dc_%7Blj%7D http://www.codecogs.com/gif.latex?E_%7Bij%7D=%5CSigma_k%5C,%20%5C,a_%7Bik%7DBC_%7Bkj%7D=%5CSigma_k%5C,%5C,a_%7Bik%7D(%5CSigma_l%20%5C,%5C,b_%7Bkl%7Dc_%7Blj%7D)=%5CSigma_l%5C,%5C,%5CSigma_k%20%5C,%5C,a_%7Bik%7Db_%7Bkl%7Dc_%7Blj%7D כאשר בין הצעד השני לשלישי בצעתי את המכפלה בין האבר הבודד לסכום, סכמתי עליו, והזזתי את סימון הסכימה לפי l אחורה בשני אברים (משמאל לאבר http://www.codecogs.com/gif.latex?a_%7Bik%7D והסכום לפי k. מותר כי האיבר הזה לא תלוי באינדקס l). קבלנו את אותו ביטוי בדיוק (היינו יכולים לקבל ביטוי ששונה רק בסימון אינדקסי הסכימה k ו-l, שאינו חשוב כי הם נסכמים), ומכאן E=D

2. משהו לא מסתדר לי פה. אני מקבל (משיטת העקומים האופייניים) שהפתרון הכללי הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?u(x,y)=f(x%5E2+y%5E2), ואז יש פתרון פרטי אחד בלבד שמקיים את תנאי ההתחלה הדרוש בסעיף 3, http://www.codecogs.com/gif.latex?u(x,y)=x%5E2+y%5E2.

אני לא רואה מה הרלוונטיות של היעקוביאן בשני המקרים. 3. (סעיף 3) אני פותר באמצעות השיטה הפרמטרית ומקבל פתרון יחיד בצורה סתומה. מהשיטה הפרמטרית נובע: http://www.codecogs.com/gif.latex?x_t=1 http://www.codecogs.com/gif.latex?y_t=2u%5E2 http://www.codecogs.com/gif.latex?u_t=u והפתרון הכללי של הסט הוא: http://www.codecogs.com/gif.latex?u(t,s)=c_3(s)e%5Et http://www.codecogs.com/gif.latex?y(t,s)=e%5E%7B2t%7D+c_2(s) http://www.codecogs.com/gif.latex?x(t,s)=t+c_1(s) והפונקציות החופשיות מחולצות מתנאי ההתחלה: http://www.codecogs.com/gif.latex?u(0,s)=c_3(s)=1 http://www.codecogs.com/gif.latex?y(0,s)=2s=1+c_2(s) http://www.codecogs.com/gif.latex?x(0,s)=s=c_1(s) כלומר http://www.codecogs.com/gif.latex?c_1(s)=s http://www.codecogs.com/gif.latex?c_2(s)=2s-1 http://www.codecogs.com/gif.latex?c_3(s)=1 והפתרון למשטח הוא: http://www.codecogs.com/gif.latex?x(t,s)=t+s http://www.codecogs.com/gif.latex?y(t,s)=e%5E%7B2t%7D+2s-1 http://www.codecogs.com/gif.latex?u(t,s)=e%5Et אפשר גם לכתוב אותו בצורה סתומה אם מבודדים מהמשוואה השלישית את t, מהראשונה והשלישית את s ומציבים אותם במשוואה השנייה: http://www.codecogs.com/gif.latex?y=u%5E2+2x-2%20%5Cln%20u-1

א. בבקשה אל תצטט את הפתרון שלי במלואו אם אין צורך להתייחס לחלק ספציפי ממנו. במיוחד כי ערכתי קצת בזמן שהגבת כדי שיהיה יותר ברור. ב. אתה לא חייב לחשב את http://www.codecogs.com/gif.latex?v_s כדי לפתור את המד"ח, מכיוון שהמשוואה ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?v_t פשוטה ומביאה אותך ישירות ל-v מאינטגרציה: http://www.codecogs.com/gif.latex?v(s,t)=%5Cfrac%7Bst%5E3%7D%7B3%7D+f(s) כאשר f היא פונקציה כלשהיא של s בלבד שנעלמת בגזירה לפי t. כדי לחזור ל-u אתה פשוט צריך להציב את t=x ו-s=y/x^2.