לוח מובילים

ב. בין כל שתי התאפסויות של הפונקצייה (אם היא רציפה) חייבת לשנות מגמה, אחרת לא תוכל לחזור לאפס. לכן בין כל שתי התאפסויות חייבת להיות נקודה שבה הנגזרת מתאפסת. נניח שהפונקציה מתאפסת k+2 פעמים. נובע ישירות מהמשפט הקודם שחייבות להיות k+1 נקודות שבהן הנגזרת מתאפסת. אבל יודעים שהנגזרת מתאפסת רק k פעמים, ולכן זה לא ייתכן ויכולות להיות לכל היותר רק k+1 נקודות בהן הפונקצייה מתאפסת. ג. הנגזרת של הפונקציה http://www.codecogs.com/gif.latex?y=x%5E5+x%5E3+8x%5E2-3 היא http://www.codecogs.com/gif.latex?y'=5x%5E4+3x%5E2+16x=x(5x%5E3+3x+16) אפשר לראות שהנגזרת מתאפסת פעמיים. פעם כש-x=0 ופעם כשהגורם http://www.codecogs.com/gif.latex?5x%5E3+3x+16 מתאפס (אפשר לדעת שהגורם הזה מתאפס פעם אחת, מכיוון שהוא מונוטוני עולה, מתחיל במינוס אינסוף ומגיע לאינסוף. ואפשר לראות שזה קורה עבור x שלילי). לכן יש לכל היותר שלושה פתרונות לפולינום (שלוש פעמים בהן הפונקצייה מתאפסת). מכיוון ששורשים מרוכבים באים בזוגות, האפשרויות שנותרנו איתן הם שורש ממשי אחד וארבעה מרוכבים או שלושה שורשים ממשיים ושניים מרוכבים. קל לפסול את האפשרות של שורש אחד באמצעות בדיקה פשוטה: http://www.codecogs.com/gif.latex?y(-1)=3 http://www.codecogs.com/gif.latex?y(0)=-3 http://www.codecogs.com/gif.latex?y(1)=5 מרציפות ומשפט ערך הביניים נובע שהפונקצייה חוצה את האפס לפחות פעמיים, ומכאן אנחנו מסיקים שחייבים להיות בדיוק שלושה שורשים.