לוח מובילים

טוב אני אנסה לעזור: 1) אתה יכול להניח את זה כי זה פשוט להחליף תוויות, כלומר ישנה התאמה חח"ע בין השאלה הזו עם לבין השאלה כאשר a_0=n-1 ו- a_k=n (פשוט אם יש לך עץ עם ה- a_0 , a_k המקוריים תשלח אותו לעץ חדש על ידי החלפה בין הצומת a_0 ל- n-1 ו- a_k ל- n , זו כמובן התאמה חח"ע ועל). 2) לגבי הפתרון: שים לב שברגע ש- a_0= n-1 ו- a_k=n ויש לך מסלול כזה בין a_0 ל- a_n , אזי על פי האלגוריתם במשפט קיילי שמתאר לך את המילה, אתה לא תוריד אף אחת מהקשתות e_i (כי a_0 ו- a_k הם המספרים הגדולים ביותר), לכן לפי האלגוריתם אם קיים מסלול כזה אתה תגיע עליו אחרון, כלומר תהיה לך מילה כלשהי שתייצר ואז תגיע למסלול הזה: a_0-a_1,...,-a_k שייצר לך את המילה: a_1a_2...a_k-1 כלומר ישנה התאמה חח"ע בין מספר העצים עם המסלול הנ"ל למספר המילים באורך n-2 עם n אותיות שמסתיימות במילה: a_1a_2,..,a_k-1 (מה שהבאתי היה סקיצה של כיוון אחד, צריך עוד להראות שכל מילה כזו מייצגת עץ עם מסלול וזה הכיוון היותר קל). אני מקווה שזה מובן, ואני לא מפספס פה משהו.

לגבי התרגיל הראשון, אפשר לראות די מהר שהתשובה היא אחת משתי האחרונות. 1. אם אתה מחלק את תחום האינטגרציה לשניים, 1-2 ו-2 עד אינסוף, ברור שבתחום השני יש התכנסות רק עבור אלפא גדול מאחד (מבחן ההשוואה הגבולי לאיקס בחזקת מינוס אלפא) 2. בתחום הראשון (1-2) אפשר לפתור אנליטית עבור אלפא 2 ולראות שיש התבדרות. 3. ממבחן ההשוואה על האינטגרל בתחום הראשון, אינטגרנדים עם אלפא בין שתיים לאחד יוצאים גדולים יותר מאשר האינטגרנד עבור אלפא 2, כי איקס בחזקת אלפא קרוב יותר לאיקס ולכן המכנה קרוב יותר לאפס. 4. לכן התשובה הנכונה היא שהאינטגרל הכולל מתבדר עבור על אלפא.

לגבי השאלה השנייה - תשתמש במבחן ההשוואה הגבולית באינסוף עם http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bln(x%5E2)%7D%7Bx%5E%7B%20%5Calpha%7D%7D זה מאפשר לך להוציא את החזקה מה-ln ולקבל אינטגרל מהסוג http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bln(x)%7D%7Bx%5E%7B%20%5Calpha%7D%7D שפתיר מיידית עבור אלפא שווה לאחד (מתבדר, lnx בריבוע חלקי 2) ובחלקים עבור אלפא גדולה מאחד (ואפשר לראות שמתכנס עבור אלפא גדולה מאחד, עם לופיטל על החלק הראשון מתוצאת האינגרציה בחלקים ואינטרגל פשוט בשני).